Come promesso, breve spiegazione; ditemi eventuali dubbi, ho cercato di non essere troppo criptico.
Distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana): è una variabile binaria e viene usata per gli eventi descrivibili in termini di successo e fallimento; per esempio, l'evento "Ottenere 6 tirando 1d6" è definibile come "Successo: ottenere 6. Fallimento: non ottenere 6".
È definita in base alle probabilità degli eventi:
Successo p
Fallimento 1 - p
Ovviamente si può estendere anche a "Ottenere k 6 tirando nd6", ma farlo richiede di sapere la probabilità di riuscita e fallimento.
Distribuzione binomiale: dà la probabilità di ottenere k successi facendo n estrazioni (tiri di dado, estrazioni di carte, ecc.) binarie (successo/fallimento) indipendenti tra di loro (ossia, per esempio non vale se estraggo una carta da un mazzo e non la reinserisco prima di fare la seconda estrazione). La sua formula è
dove (n k) è il
coefficiente binomiale, che dà il numero di modi diversi in cui si possono estrarre k elementi da un insieme di n. Il fattoriale n! vale n·(n-1)·(n-2)·...·1. Con n = 4:
4! = 4·3·2·1 = 24.
La probabilità p è la probabilità di avere un successo.
Per calcolare la probabilità di estrazioni dipendenti (ossia: estrarre un asso avendo una mano di cinque carte, quindi senza reinserire le carte pescate) si usa la
distribuzione ipergeometrica:
Citando da
Wikipedia: "Rappresenta la probabilità che, data un'urna con N oggetti di cui r di un certo tipo, estraendone n senza rimpiazzo esattamente x siano di quel tipo"; in altri termini, con riferimento all'esempio dell'asso: N è il numero delle carte nel mazzo, n è il numero di carte pescate, r il numero di assi presenti nel mazzo e x il numero di assi che voglio pescare.
Quindi, "Qual è la probabilità di pescare da un normale mazzo senza matte [N = 52] un tris [x = 3] d'assi [r = 4] pescando cinque carte [n = 5]?":
Il primo fattore del numeratore è il numero di modi in cui è possibile fare un tris d'assi avendo a disposizione quattro assi; il secondo è il numero di modi in cui posso avere le altre due carte partendo da tutto il mazzo senza gli assi. Il denominatore è il numero di mani di cinque carte che è possibile combinare da un mazzo di cinquantadue carte.
Considerando che la probabilità di ottenere qualcosa piú la probabilità di non ottenerlo è sempre uno, per avere la probabilità di avere
almeno un 6 tirando nd6 si calcola la probabilità p(0) di non averne nessuno e si fa
p({almeno un 6}) = 1 - p(0)
Questo perché tirando, per esempio, 2d6 i casi possibili sono: zero 6 o un 6 o due 6, con p({zero 6 o un 6 o due 6}) = 1 (qual è la probabilità, tirando 2d6, di avere o nessun 6, o uno, o due? Il 100%, ossia 1). Togliendo p(0), ossia p({zero 6}), resta p({un 6 o due 6}).
Ragionamento analogo per la distribuzione ipergeometrica.
Valore atteso e
media: concettualmente, un modo semplice per vederli è che la media si fa sui dati, il valore atteso è teorico (un po' la "media teorica" su infinite ripetizioni); tiro 1d6 tre volte ottenendo 1 2 3, la loro media è 2, e per calcolarla
devo avere dei dati sull'esperienza fatta. Il valore atteso di 1d6 è
sempre 3,5, e per calcolarlo non mi servono dati sull'esperienza fatta.
