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Gente Che Gioca => Sotto il cofano => Topic aperto da: Mauro - 2009-05-22 20:40:58
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Come promesso, breve spiegazione; ditemi eventuali dubbi, ho cercato di non essere troppo criptico.
Distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) (http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_casuale_bernoulliana): è una variabile binaria e viene usata per gli eventi descrivibili in termini di successo e fallimento; per esempio, l'evento "Ottenere 6 tirando 1d6" è definibile come "Successo: ottenere 6. Fallimento: non ottenere 6".
È definita in base alle probabilità degli eventi:
Successo p
Fallimento 1 - p
Ovviamente si può estendere anche a "Ottenere k 6 tirando nd6", ma farlo richiede di sapere la probabilità di riuscita e fallimento.
Distribuzione binomiale (http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_casuale_binomiale): dà la probabilità di ottenere k successi facendo n estrazioni (tiri di dado, estrazioni di carte, ecc.) binarie (successo/fallimento) indipendenti tra di loro (ossia, per esempio non vale se estraggo una carta da un mazzo e non la reinserisco prima di fare la seconda estrazione). La sua formula è
(http://upload.wikimedia.org/math/4/e/c/4ec34f914bfe31e40fa38f3078074779.png)
dove (n k) è il coefficiente binomiale (http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_binomiale), che dà il numero di modi diversi in cui si possono estrarre k elementi da un insieme di n. Il fattoriale n! vale n·(n-1)·(n-2)·...·1. Con n = 4:
4! = 4·3·2·1 = 24.
La probabilità p è la probabilità di avere un successo.
Per calcolare la probabilità di estrazioni dipendenti (ossia: estrarre un asso avendo una mano di cinque carte, quindi senza reinserire le carte pescate) si usa la distribuzione ipergeometrica (http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_ipergeometrica):
(http://upload.wikimedia.org/math/a/e/2/ae295d3fa6ae72eb8491e6856fe35c0b.png)
Citando da Wikipedia: "Rappresenta la probabilità che, data un'urna con N oggetti di cui r di un certo tipo, estraendone n senza rimpiazzo esattamente x siano di quel tipo"; in altri termini, con riferimento all'esempio dell'asso: N è il numero delle carte nel mazzo, n è il numero di carte pescate, r il numero di assi presenti nel mazzo e x il numero di assi che voglio pescare.
Quindi, "Qual è la probabilità di pescare da un normale mazzo senza matte [N = 52] un tris [x = 3] d'assi [r = 4] pescando cinque carte [n = 5]?":
(http://img42.imageshack.us/img42/6223/prob.jpg)
Il primo fattore del numeratore è il numero di modi in cui è possibile fare un tris d'assi avendo a disposizione quattro assi; il secondo è il numero di modi in cui posso avere le altre due carte partendo da tutto il mazzo senza gli assi. Il denominatore è il numero di mani di cinque carte che è possibile combinare da un mazzo di cinquantadue carte.
Considerando che la probabilità di ottenere qualcosa piú la probabilità di non ottenerlo è sempre uno, per avere la probabilità di avere almeno un 6 tirando nd6 si calcola la probabilità p(0) di non averne nessuno e si fa
p({almeno un 6}) = 1 - p(0)
Questo perché tirando, per esempio, 2d6 i casi possibili sono: zero 6 o un 6 o due 6, con p({zero 6 o un 6 o due 6}) = 1 (qual è la probabilità, tirando 2d6, di avere o nessun 6, o uno, o due? Il 100%, ossia 1). Togliendo p(0), ossia p({zero 6}), resta p({un 6 o due 6}).
Ragionamento analogo per la distribuzione ipergeometrica.
Valore atteso (http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso) e media (http://it.wikipedia.org/wiki/Media_(statistica)#Media_aritmetica_semplice): concettualmente, un modo semplice per vederli è che la media si fa sui dati, il valore atteso è teorico (un po' la "media teorica" su infinite ripetizioni); tiro 1d6 tre volte ottenendo 1 2 3, la loro media è 2, e per calcolarla devo avere dei dati sull'esperienza fatta. Il valore atteso di 1d6 è sempre 3,5, e per calcolarlo non mi servono dati sull'esperienza fatta.
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Grazie, soprattutto per la ipergeometrica!
-MikeT
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Grazie sopratutto perché è un ottimo riassunto(che copierò) che tra l'altro mi mancava tra gli appunti ed è in programma d'esame XD
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[cite]Autore: Fra[/cite]Grazie sopratutto perché è un ottimo riassunto(che copierò) che tra l'altro mi mancava tra gli appunti ed è in programma d'esame
GenteCheGioca: Basta Chiedere™.
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In materia trovo molto comodo questo ciappino qui
http://catlikecoding.com/dice/ (http://catlikecoding.com/dice/)
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[cite]Autore: MicheleGelli[/cite][p]In materia trovo molto comodo questo ciappino qui[/p][p]http://catlikecoding.com/dice/[/p]
Ci ho messo un po' a capire il grafico in basso, ma questo è esattamente ciò che cercavo per una cosa che sto scrivendo.
Davvero, quoto Mauro. O_o Bravi voi!
-MikeT
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[cite]Autore: Mauro[/cite]Come promesso, breve spiegazione; ditemi eventuali dubbi,
Domanda!
Per i giochi con un dice pool, tipo "tira XdY, conta tutti quelli maggiori o uguali a Z", mi pare di ricordare ci fosse una formuletta relativamente semplice per calcolare la probabilità di fare almeno un successo, almeno due, ecc.
A qualcuno sovviene qualcosa?
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[cite]Autore: MicheleGelli[/cite][p]In materia trovo molto comodo questo ciappino qui[/p][p]http://catlikecoding.com/dice/[/p]
EPIC WIN! O______O
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Il valore atteso di 1d6 è sempre 3,5, e per calcolarlo non mi servono dati sull'esperienza fatta.
Tanto per espandere, il valore atteso nel caso di tiri di dado o di monete o di estrazioni di carte, si calcola sommando i risultati possibili (1,2...5,6) moltiplicati per la loro probabilità.
Nel caso di 1d6 ogni risultato ha 1/6 di probabilità, il risultato è 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 21/6 = 3.5
ps: in effetti nell'altro thread mi ero perso un paio di binomiali per strada, sorry ;)
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[cite]Autore: Korin Duval[/cite]Per i giochi con un dice pool, tipo "tira XdY, conta tutti quelli maggiori o uguali a Z", mi pare di ricordare ci fosse una formuletta relativamente semplice per calcolare la probabilità di fare almeno un successo, almeno due, ecc.
Vedo se mi viene in mente qualcos'altro, al momento ho questo:
- calcolo la probabilità p che 1dY dia un risultato maggiore o uguale a Z (se Z = 5 su 1d6, p = 2/6; Z = 4 su 1d10, p = 7/10; ecc.).
- definisco una bernoulliana
successo p
fallimento 1 - p
- applico la distribuzione binomiale; per calcolare la probabilità di fare almeno due successi, calcolo 1 - p(0) - p(1).
Non hai studiato :P
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[cite]Autore: Mauro[/cite]Non hai studiato :P
Ho studiato altro. :P
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Mauro, ti sei dimenticato i casi di interesse per il Solar System: “tiro N dadi e tengo i 3 migliori/peggiori”. :P
PS: invece il tiro senza bonus/malus lo si può facilmente rappresentare come 3d3-6 (http://catlikecoding.com/dice/?dice=3d3-6).
Edit per aggungere: no, quell'uomo si droga, come da istruzioni (http://catlikecoding.com/dice/instructions.html) si può anche dire “e tieni i più bassi/alti” con questa notazione:
2 bonus 5d{-1,0,1}h3 (http://catlikecoding.com/dice/?dice=5d{-1,0,1}h3)
4 malus 7d{-1,0,1}l3 (http://catlikecoding.com/dice/?dice=7d{-1,0,1}l3)
Ho fatto una paginetta con riassume le probabilità per i tiri bonus/malus come usati dal sistema Solar System / TSoY (http://lapo.it/CnV/fudge.html).
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Riporto da qui (http://www.gentechegioca.it/vanilla/?CommentID=25610):
[cite]Autore: renatoram[/cite]considero cosmetiche anche le differenze tra un sistema a classi e livelli ed uno a skill e point-buy, o tra un "tira alto" e un "tira basso", o tra "3d6" e distribuzioni gaussiane e un 1d20 e distribuzioni lineari
[cite]Autore: Eishiro[/cite][p]lo sai che se ti sente un matematico a dir che gaussiana e lineare son differenze da poco non sarebbe d'accordo vero? :D[/p]
Tecnicamente... non è detto: per il Teorema Limite Centrale (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_Centrale_del_Limite), la somma di variabili aleatorie tende a una gaussiana.
Considerando il numero di tiri che si fanno in una campagna media e il fatto che trenta può essere un numero piú che adeguato per il teorema, i due sistemi mediamente vengono ad avere la stessa distribuzione; statisticamente (e matematicamente) direi quindi che si può dire che la differenza tra 3d6 e 1d20 è effettivamente cosa da poco :P
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non voglio fare il riesumatore di topic, ma mi è sembrato che postare qui fosse la cosa migliore.
Qual è la validità matematica in termini di bilanciamento della meccanica dei dadi di Lex Arcana?
per chi non la conoscesse: se ho un punteggio di 20, posso decidere di lanciare 1d20, oppure 2d10, oppure anche 1d10+2d5—l'importante è che non lancio più di 3 dadi contemporaneamente, e che la somma delle loro facce dia il punteggio che sto tirando (o un numero inferiore). I risultati si sommano tra loro, più alto fai meglio è. Secondo il manuale, non sempre è conveniente tirare 3 dadi per alzare la media perché se ottieni il risultato massimo, ritiri tutti i dadi e sommi di nuovo. Non si ritirano i dadi singoli che danno massimo risultato, ma solo se su ogni dado tirato figura il suo risultato massimo, allora si rifà l'intero tiro. Quindi, dove di base tirare 2d10 da' una media più alta che tirare 1d20, la maggiore probabilità di ottenere un risultato massimo con 1d20 rispetto a 2d10 rende effettivamente bilanciato scegliere una o l'altra opzione, senza che un'opzione sia quella sempre più conveniente?
nota: i dadi che possono essere usati (presenti anche nella scatola) e che permettono di combinare qualsiasi numero sono d3, d4, d5, d6, d8, d10, d12 e d20. Io quando li avrò, se rigiocherò a lex arcana, ci aggiungerò anche d7, d16, d24 e d30 per dare ancora più opzioni.
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2d10 è maggiore di 1d20 il 50% delle volte, mentre 1d20 è maggiore di 2d10 il 45% (il restante 5% sono pareggi); col d20 hai il 5% di ritirare, con 2d10 l'1%. Quindi:
- col d20 fai pari o superiore nel 50% dei casi e ritiri cinque volte tanto (il secondo ritiro passa allo 0,25% per il d20 e allo 0,01% per i 2d10).
- con 2d10 fai pari o superiore nel 55% dei casi e ritiri un quinto delle volte (il secondo ritiro passa allo 0,25% per il d20 e allo 0,01% per i 2d10).
- la media di 2d10 è 11, quella di 1d20 è 10,5.
A voi decidere se quel 5% in piú di tiri piú alti e quello 0,5 di media in piú vale una diminuzione a un quinto della probabilità di ritirare una volta (e a un venticinquesimo quella di ritirare due).
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[cite]Autore: Mauro[/cite]Tecnicamente... non è detto: per ilTeorema Limite Centrale (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_Centrale_del_Limite), la somma di variabili aleatorie tende a una gaussiana.
Considerando il numero di tiri che si fanno in una campagna media e il fatto che trenta può essere un numero piú che adeguato per il teorema, i due sistemi mediamente vengono ad avere la stessa distribuzione; statisticamente (e matematicamente) direi quindi che si può dire che la differenza tra 3d6 e 1d20 è effettivamente cosa da poco :P
Be', la premessa è correttissima ma le conclusioni a mio avviso sono un po' più articolate. Il teorema del limite centrale applicato al caso in questione ti dice essenzialmente che la distribuzione delle medie campionarie tende ad una gaussiana (la somma delle variabili nel nostro caso non è un dato utile e/o significativo di per sé). In altre parole, per fare un esempio semplificato e non del tutto esatto, se vai a plottare il risultato medio dei tiri di dado che ottieni in ogni singolo combattimento lungo tutta la durata della campagna allora la situazione è esattamente quella che dici tu. Tuttavia sui singoli episodi le distribuzioni sono effettivamente diverse e questo può avere effetti pratici rilevanti. Tanto per fare un esempio, è molto più semplice stimare le probabilità di successo per un sistema che usa una distribuzione piatta piuttosto che per un sistema che usa una (pseudo)gaussiana. Allo stesso modo, un modificatore costante al tiro del dado ha un effetto uniforme su una distribuzione piatta, mentre su una distribuzione gaussiana alla GURPS (se non ricordo male) l'effetto dipende da quanto ci si trova lontani dalla media. Quindi, se è vero che sul lungo periodo tutti questi sistemi tendono ad essere "equivalenti", sui singoli episodi possono produrre effetti diversi e importanti.
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[cite]Autore: Mauro[/cite]A voi decidere se quel 5% in piú di tiri piú alti e quello 0,5 di media in piú vale una diminuzione a un quinto della probabilità di ritirare una volta (e a un venticinquesimo quella di ritirare due).
2d10 (http://catlikecoding.com/anydice/?dice=1d{2%2C3%3D2%2C4%3D3%2C5%3D4%2C6%3D5%2C7%3D6%2C8%3D7%2C9%3D8%2C10%3D9%2C11%3D10%2C12%3D9%2C13%3D8%2C14%3D7%2C15%3D6%2C16%3D5%2C17%3D4%2C18%3D3%2C19%3D2%2C20}e1h) (formulati in maniera da poter calcolare che facendo su entrambe le facce 10 si ritira e si somma) danno una media di 11,11.
1d20 (http://catlikecoding.com/anydice/?dice=1d20e1h) con la stessa logica da una media di 11,04.
quindi, se questo è giusto, conviene sempre tirare più dadi possibile.
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[cite]Autore: Leonardo[/cite]se è vero che sul lungo periodo tutti questi sistemi tendono ad essere "equivalenti", sui singoli episodi possono produrre effetti diversi e importanti
Sicuramente, era un commento semi-serio; il mio "mediamente" era inteso proprio per il lungo termine, ma va da sé che il singolo tiro, preso a sé stante, risente della sua distribuzione :)
[cite]Autore: adam[/cite][p]2d10 (http://catlikecoding.com/anydice/?dice=1d{2%2C3%3D2%2C4%3D3%2C5%3D4%2C6%3D5%2C7%3D6%2C8%3D7%2C9%3D8%2C10%3D9%2C11%3D10%2C12%3D9%2C13%3D8%2C14%3D7%2C15%3D6%2C16%3D5%2C17%3D4%2C18%3D3%2C19%3D2%2C20}e1h)(formulati in maniera da poter calcolare che facendo su entrambe le facce 10 si ritira e si somma) danno una media di 11,11.[/p][p]1d20 (http://catlikecoding.com/anydice/?dice=1d20e1h)con la stessa logica da una media di 11,04.[/p][p]quindi, se questo è giusto, conviene sempre tirare più dadi possibile[/p]
Dovrei vedere come inserire il ritiro nel valore atteso, soprattutto se non è limitato a uno (lo è?); ma di per sé i dati che danno diminuiscono il distacco (da 0,5 si passa a 0,07), quindi la domanda diventa un'altra: va bene, la media è piú alta; ma uno 0,07 medio in piú vale il fatto che, a fronte di una probabilità del 50% di fare almeno uguale, il d20 ritira cinque volte tanto i 2d10?
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dipende se ti serve un tiro alto, o se puoi accontentarti di un tiro medio. nel primo caso meglio tirare un dado, nel secondo meglio più dadi.
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Il valore atteso di 1d10 + 2d5 è 11,5, quindi un punto in piú di 1d20 e mezzo punto in piú di 2d10; accontentandosi del tiro medio, una simile diversità significherebbe una differenza rilevante? Se no, forse converrebbe comunque 1d20.
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ok: allora è più o meno bilanciato, e sta ai bisogni e alle tattiche scelte dal giocatore.
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[cite]Autore: adam[/cite][p]ok: allora è più o meno bilanciato, e sta ai bisogni e alle tattiche scelte dal giocatore.[/p]
Se ho capito quello che vuoi non è proprio uguale lanciare un d20 o 1d10 + 2d5 per i valori "medi". Se vuoi che un valore sia esattamente 11 (ad esempio) allora non c'è molta differenza. Ma se vuoi che il risultato stia all'interno di un intervallo vicino al valore medio atteso allore c'è differenza. Ad esempio.. come tattica .. se il fallimento può portare conseguenza molto peggiori rispetto alla vittoria in proporzione, e se questo fallimento può avvenire solo con valori molto bassi .. allora io usere più dadi. In questo caso ottenere un valore "bassissimo" o "altissimo" è più improbabile che ottenere valori vicini al valore medio.
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si, questo l'avevo capito, e lo consideravo incluso e sottinteso in "bisogni e tattiche scelte dal giocatore" °L°
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Ah ok. Perchè da quello che aveva detto Mauro poteva sembrare che la differenza tra uno o più dadi per il valore medio fosse minima (ed in effetto lo è se non si ragiona in termini di intervallo fra due valori vicini al medio).
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ovviamente, più aumenta il punteggio, più aumenta la differenza tra le due: 1d30 e 3d10 sono molto più differenti tra loro rispetto a 1d12 e 3d4... O sbaglio?
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[cite]Autore: adam[/cite][p]ovviamente, più aumenta il punteggio, più aumenta la differenza tra le due: 1d30 e 3d10 sono molto più differenti tra loro rispetto a 1d12 e 3d4... O sbaglio?[/p]
In proporzione sono la stessa cosa.
Un esempio empirico.. quando facevi le schede del D&D tirando i famosi 3D6 te lo ricordi? Era molto difficile avere punteggi come 17 o 18 oppure 3 0 4 ... al contrario era comune avere punteggi tra il 9 e il 13 (cioè valori compresi in un intervallo "vicino" al valor medio di 10.5). Se avessi usato un 1D18 la scheda del PG sarebbe stata diversa! Avresti ottenuto valori molto alti magari assieme a valori molto bassi .. con una frequenza simile a quella dei valori "medi" (dove per valori medi si intende quelli dell'intervallo sopra detto).
Aumentando le taglie dei dadi, in proporzione tale fenomeno resta inalterato (cambiano solo le probabilità, che diventano più basse, di avere quel determinato valore).