Autore Topic: GdR e probabilità  (Letto 7096 volte)

Mauro

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GdR e probabilità
« il: 2009-05-22 20:40:58 »
Come promesso, breve spiegazione; ditemi eventuali dubbi, ho cercato di non essere troppo criptico.

Distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana): è una variabile binaria e viene usata per gli eventi descrivibili in termini di successo e fallimento; per esempio, l'evento "Ottenere 6 tirando 1d6" è definibile come "Successo: ottenere 6. Fallimento: non ottenere 6".
È definita in base alle probabilità degli eventi:

Successo p
Fallimento 1 - p

Ovviamente si può estendere anche a "Ottenere k 6 tirando nd6", ma farlo richiede di sapere la probabilità di riuscita e fallimento.


Distribuzione binomiale: dà la probabilità di ottenere k successi facendo n estrazioni (tiri di dado, estrazioni di carte, ecc.) binarie (successo/fallimento) indipendenti tra di loro (ossia, per esempio non vale se estraggo una carta da un mazzo e non la reinserisco prima di fare la seconda estrazione). La sua formula è



dove (n k) è il coefficiente binomiale, che dà il numero di modi diversi in cui si possono estrarre k elementi da un insieme di n. Il fattoriale n! vale n·(n-1)·(n-2)·...·1. Con n = 4:

4! = 4·3·2·1 = 24.

La probabilità p è la probabilità di avere un successo.


Per calcolare la probabilità di estrazioni dipendenti (ossia: estrarre un asso avendo una mano di cinque carte, quindi senza reinserire le carte pescate) si usa la distribuzione ipergeometrica:



Citando da Wikipedia: "Rappresenta la probabilità che, data un'urna con N oggetti di cui r di un certo tipo, estraendone n senza rimpiazzo esattamente x siano di quel tipo"; in altri termini, con riferimento all'esempio dell'asso: N è il numero delle carte nel mazzo, n è il numero di carte pescate, r il numero di assi presenti nel mazzo e x il numero di assi che voglio pescare.
Quindi, "Qual è la probabilità di pescare da un normale mazzo senza matte [N = 52] un tris [x = 3] d'assi [r = 4] pescando cinque carte [n = 5]?":



Il primo fattore del numeratore è il numero di modi in cui è possibile fare un tris d'assi avendo a disposizione quattro assi; il secondo è il numero di modi in cui posso avere le altre due carte partendo da tutto il mazzo senza gli assi. Il denominatore è il numero di mani di cinque carte che è possibile combinare da un mazzo di cinquantadue carte.


Considerando che la probabilità di ottenere qualcosa piú la probabilità di non ottenerlo è sempre uno, per avere la probabilità di avere almeno un 6 tirando nd6 si calcola la probabilità p(0) di non averne nessuno e si fa

p({almeno un 6}) = 1 - p(0)

Questo perché tirando, per esempio, 2d6 i casi possibili sono: zero 6 o un 6 o due 6, con p({zero 6 o un 6 o due 6}) = 1 (qual è la probabilità, tirando 2d6, di avere o nessun 6, o uno, o due? Il 100%, ossia 1). Togliendo p(0), ossia p({zero 6}), resta p({un 6 o due 6}).
Ragionamento analogo per la distribuzione ipergeometrica.


Valore atteso e media: concettualmente, un modo semplice per vederli è che la media si fa sui dati, il valore atteso è teorico (un po' la "media teorica" su infinite ripetizioni); tiro 1d6 tre volte ottenendo 1 2 3, la loro media è 2, e per calcolarla devo avere dei dati sull'esperienza fatta. Il valore atteso di 1d6 è sempre 3,5, e per calcolarlo non mi servono dati sull'esperienza fatta.

Michael Tangherlini

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GdR e probabilità
« Risposta #1 il: 2009-05-22 20:53:46 »
Grazie, soprattutto per la ipergeometrica!

-MikeT
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Francesco Berni

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« Risposta #2 il: 2009-05-22 21:51:22 »
Grazie sopratutto perché è un ottimo riassunto(che copierò) che tra l'altro mi mancava tra gli appunti ed è in programma d'esame XD
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Mauro

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« Risposta #3 il: 2009-05-22 23:09:51 »
Citazione
[cite]Autore: Fra[/cite]Grazie sopratutto perché è un ottimo riassunto(che copierò) che tra l'altro mi mancava tra gli appunti ed è in programma d'esame

GenteCheGioca: Basta Chiedere™.

Michele Gelli

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GdR e probabilità
« Risposta #4 il: 2009-05-22 23:26:40 »
In materia trovo molto comodo questo ciappino qui

http://catlikecoding.com/dice/
--
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Michael Tangherlini

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« Risposta #5 il: 2009-05-23 07:50:18 »
Citazione
[cite]Autore: MicheleGelli[/cite][p]In materia trovo molto comodo questo ciappino qui[/p][p]http://catlikecoding.com/dice/[/p]

Ci ho messo un po' a capire il grafico in basso, ma questo è esattamente ciò che cercavo per una cosa che sto scrivendo.
Davvero, quoto Mauro. O_o Bravi voi!

-MikeT
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Mattia Bulgarelli

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« Risposta #6 il: 2009-05-23 15:59:52 »
Citazione
[cite]Autore: Mauro[/cite]Come promesso, breve spiegazione; ditemi eventuali dubbi,

Domanda!
Per i giochi con un dice pool, tipo "tira XdY, conta tutti quelli maggiori o uguali a Z", mi pare di ricordare ci fosse una formuletta relativamente semplice per calcolare la probabilità di fare almeno un successo, almeno due, ecc.

A qualcuno sovviene qualcosa?
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Mattia Bulgarelli

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« Risposta #7 il: 2009-05-23 16:02:42 »
Citazione
[cite]Autore: MicheleGelli[/cite][p]In materia trovo molto comodo questo ciappino qui[/p][p]http://catlikecoding.com/dice/[/p]

EPIC WIN! O______O
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Fealoro

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« Risposta #8 il: 2009-05-23 18:23:02 »
Citazione da: Mauro
Il valore atteso di 1d6 è sempre 3,5, e per calcolarlo non mi servono dati sull'esperienza fatta.

Tanto per espandere, il valore atteso nel caso di tiri di dado o di monete o di estrazioni di carte, si calcola sommando i risultati possibili (1,2...5,6) moltiplicati per la loro probabilità.
Nel caso di 1d6 ogni risultato ha 1/6 di probabilità, il risultato è 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 21/6 = 3.5

ps: in effetti nell'altro thread mi ero perso un paio di binomiali per strada, sorry ;)
« Ultima modifica: 2009-05-23 19:12:33 da Fealoro »

Mauro

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« Risposta #9 il: 2009-05-24 02:20:49 »
Citazione
[cite]Autore: Korin Duval[/cite]Per i giochi con un dice pool, tipo "tira XdY, conta tutti quelli maggiori o uguali a Z", mi pare di ricordare ci fosse una formuletta relativamente semplice per calcolare la probabilità di fare almeno un successo, almeno due, ecc.

Vedo se mi viene in mente qualcos'altro, al momento ho questo:

- calcolo la probabilità p che 1dY dia un risultato maggiore o uguale a Z (se Z = 5 su 1d6, p = 2/6; Z = 4 su 1d10, p = 7/10; ecc.).
- definisco una bernoulliana

successo p
fallimento 1 - p

- applico la distribuzione binomiale; per calcolare la probabilità di fare almeno due successi, calcolo 1 - p(0) - p(1).

Non hai studiato :P

Mattia Bulgarelli

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« Risposta #10 il: 2009-05-24 11:41:10 »
Citazione
[cite]Autore: Mauro[/cite]Non hai studiato :P

Ho studiato altro. :P
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lapo

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« Risposta #11 il: 2009-05-28 12:41:14 »
Mauro, ti sei dimenticato i casi di interesse per il Solar System: “tiro N dadi e tengo i 3 migliori/peggiori”. :P

PS: invece il tiro senza bonus/malus lo si può facilmente rappresentare come 3d3-6.

Edit per aggungere: no, quell'uomo si droga, come da istruzioni si può anche dire “e tieni i più bassi/alti” con questa notazione:
2 bonus 5d{-1,0,1}h3
4 malus 7d{-1,0,1}l3

Ho fatto una paginetta con riassume le probabilità per i tiri bonus/malus come usati dal sistema Solar System / TSoY.
« Ultima modifica: 2009-05-28 14:32:32 da lapo »

Mauro

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GdR e probabilità
« Risposta #12 il: 2009-08-16 18:35:05 »
Riporto da qui:
Citazione
[cite]Autore: renatoram[/cite]considero cosmetiche anche le differenze tra un sistema a classi e livelli ed uno a skill e point-buy, o tra un "tira alto" e un "tira basso", o tra "3d6" e distribuzioni gaussiane e un 1d20 e distribuzioni lineari

Citazione
[cite]Autore: Eishiro[/cite][p]lo sai che se ti sente un matematico a dir che gaussiana e lineare son differenze da poco non sarebbe d'accordo vero? :D[/p]

Tecnicamente... non è detto: per il Teorema Limite Centrale, la somma di variabili aleatorie tende a una gaussiana.
Considerando il numero di tiri che si fanno in una campagna media e il fatto che trenta può essere un numero piú che adeguato per il teorema, i due sistemi mediamente vengono ad avere la stessa distribuzione; statisticamente (e matematicamente) direi quindi che si può dire che la differenza tra 3d6 e 1d20 è effettivamente cosa da poco :P
« Ultima modifica: 2009-08-16 18:36:08 da Mauro »

adam

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« Risposta #13 il: 2009-08-28 13:16:04 »
non voglio fare il riesumatore di topic, ma mi è sembrato che postare qui fosse la cosa migliore.

Qual è la validità matematica in termini di bilanciamento della meccanica dei dadi di Lex Arcana?

per chi non la conoscesse: se ho un punteggio di 20, posso decidere di lanciare 1d20, oppure 2d10, oppure anche 1d10+2d5—l'importante è che non lancio più di 3 dadi contemporaneamente, e che la somma delle loro facce dia il punteggio che sto tirando (o un numero inferiore). I risultati si sommano tra loro, più alto fai meglio è. Secondo il manuale, non sempre è conveniente tirare 3 dadi per alzare la media perché se ottieni il risultato massimo, ritiri tutti i dadi e sommi di nuovo. Non si ritirano i dadi singoli che danno massimo risultato, ma solo se su ogni dado tirato figura il suo risultato massimo, allora si rifà l'intero tiro. Quindi, dove di base tirare 2d10 da' una media più alta che tirare 1d20, la maggiore probabilità di ottenere un risultato massimo con 1d20 rispetto a 2d10 rende effettivamente bilanciato scegliere una o l'altra opzione, senza che un'opzione sia quella sempre più conveniente?

nota: i dadi che possono essere usati (presenti anche nella scatola) e che permettono di combinare qualsiasi numero sono d3, d4, d5, d6, d8, d10, d12 e d20. Io quando li avrò, se rigiocherò a lex arcana, ci aggiungerò anche d7, d16, d24 e d30 per dare ancora più opzioni.
« Ultima modifica: 2009-08-28 13:17:37 da adam »
Alessandro

Mauro

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« Risposta #14 il: 2009-08-28 13:41:10 »
2d10 è maggiore di 1d20 il 50% delle volte, mentre 1d20 è maggiore di 2d10 il 45% (il restante 5% sono pareggi); col d20 hai il 5% di ritirare, con 2d10 l'1%. Quindi:

- col d20 fai pari o superiore nel 50% dei casi e ritiri cinque volte tanto (il secondo ritiro passa allo 0,25% per il d20 e allo 0,01% per i 2d10).
- con 2d10 fai pari o superiore nel 55% dei casi e ritiri un quinto delle volte (il secondo ritiro passa allo 0,25% per il d20 e allo 0,01% per i 2d10).
- la media di 2d10 è 11, quella di 1d20 è 10,5.

A voi decidere se quel 5% in piú di tiri piú alti e quello 0,5 di media in piú vale una diminuzione a un quinto della probabilità di ritirare una volta (e a un venticinquesimo quella di ritirare due).
« Ultima modifica: 2009-08-28 13:41:59 da Mauro »

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