Enigma/paqradosso di matematica/geometria piana

[Mattia Bulgarelli]

Consultavo Wanda (il pesce parlante di Ubuntu), e questa mi fa:

"Disegnate una semicirconferenza di raggio unitario...  la sua lunghezza
e' Pigreco.  Disegnate ora due semicirconferenze contigue (a mo' di
sinusoide...  tanto per capirsi) di raggio 0.5: la lunghezza e' sempre
Pigreco...
Cosi' via (dimezzando i raggi e raddoppiando il numero di semicirconferenze)
si arriva a una curva (lunga Pigreco) che si adagia sul diametro della
semicirconferenza piu' grande...
Quindi...  Pigreco = 2."

Come si spiega? ?__?

[TartaRosso]

Ehm non ho capito.

Che vuol dire a mo di sinusoide?

Non nel senso che non so cos'è una sinusoide (lavoro con trasformate di fourier e affini molto spesso quindi son cosa sono le funzioni trigonometriche).

Ma non capisco quale sia il preciso punto di contatto fra le circonferenze.

P.S.

Ah e comunque Pi Greco è uguale a 3 come voleva stabilire una legge di non mi ricordo quale stato americano. O meglio lo stato non voleva approvare come legge esattamente questo ma piuttosto una legge che conteneva un metodo di un sedicente esperto matematico per la quadratura del cerchio ( ). Il metodo (sbagliato) ovviamente portava alla conclusione matematica che Pi Greco era uguale a 3.

La cosa è ripresa anche in un capitolo di "Straniero in terra straniera" di Heilein

[Mattia Bulgarelli]

Credo che intenda:

Prendi un segmento lungo 2. Il semicerchio di cui è diametro (raggio 1) ha lunghezza Pi.

Dividi il segmento in due. I due semicerchi di cui sono diametro (diametro 1, raggio 0,5) hanno lunghezza ognuno 1/2*Pi, cioè Pi/2 ognuno, cioè Pi totale.

Se dividi ancora, hai 4 segmenti di lunghezza 0,5 e 4 semicerchi di raggio 0,25... La cui lunghezza sommata è 0,25 * Pi * 4, cioè Pi...

Dividendo all'infinito, hai una funzione per cui la somma delle lunghezze della circonferenze è sempre Pi, anche se, dividendo all'infinito, le semicirconferenze si appiattiscono fino ad approssimarsi al segmento (lungo 2)... Come si spiega? ?___?

[Mattia Bulgarelli]

Credo che sia perché l'espressione della somma delle lunghezze (L) è:

L = 2/(2n) * Pi * n

Con "n" come numero dei dimezzamenti.
Essendoci n che tende a +infinito a numeratore e a denominatore (con pari grado, cioè 1), l'espressione è indeterminata.

Qualcuno che ne sa un po' di più di me magari può essere più preciso... ^_^;

[Mr. Mario]

[cite]Autore: Korin Duval[/cite]si arriva a una curva (lunga Pigreco) che si adagia sul diametro della
semicirconferenza piu' grande

La gabola è qui. Questa cosa semplicemente non è vera. Sembra che sia così, ma le cose che 'si avvicinano a' in matematica devono farlo nel modo giusto. Sul segmento iniziale ci sono una quantità infinita di punti che non saranno mai toccati dalla successione dei semicerchi, per quanto piccoli possano essere. Non passando per quei punti, la successione dei semicerchi, farà un giro più lungo, di una quantità infinitesima, ma questa quantità infinitesima, moltiplicata per gli infiniti semicerchi, è abbastanza concreta da fare la differenza tra 2 e pi.

[Mr. Mario]

[cite]Autore: Korin Duval[/cite][p]Credo che sia perché l'espressione della somma delle lunghezze (L) è:[/p][p]L = 2/(2n) * Pi * n[/p][p]Con "n" come numero dei dimezzamenti.
Essendoci n che tende a +infinito a numeratore e a denominatore (con pari grado, cioè 1), l'espressione è indeterminata.[/p][p]Qualcuno che ne sa un po' di più di me magari può essere più preciso... ^_^;[/p]

No korin, la tua formula è giusta, ma non è indeterminata, l'n a numeratore e a denominatore si semplificano. Ti viene 2*Pi/2 e quindi Pi.

[Mr. Mario]

Archimede sosteneva che Pi fosse, per ogni scopo pratico, 22/7. Se ci fate caso, è un'approssimazione migliore del 3,14 che insegnano a scuola.

[TartaRosso]

Ok capito. Il riferimento alla sinusoide mi aveva fatto credere che i cerchi fossero esterni. Cioè i loro centri stessero su una sinusoide. Non so perchè mi era venuta in mente questa cosa. Comunque concordo con la spiegazione di Mr Mario.

[Mattia Bulgarelli]

[cite]Autore: Mr. Mario[/cite]No korin, la tua formula è giusta, ma non è indeterminata, l'n a numeratore e a denominatore si semplificano.

Ah, già... "n", in effetti, è sempre intero e positivo... Sono proprio scarso in matematica. ^_^;

[Leonardo]

[cite]Autore: Mr. Mario[/cite]La gabola è qui. Questa cosa semplicemente non è vera. Sembra che sia così, ma le cose che 'si avvicinano a' in matematica devono farlo nel modo giusto. Sul segmento iniziale ci sono una quantità infinita di punti che non saranno mai toccati dalla successione dei semicerchi, per quanto piccoli possano essere. Non passando per quei punti, la successione dei semicerchi, farà un giro più lungo, di una quantità infinitesima, ma questa quantità infinitesima, moltiplicata per gli infiniti semicerchi, è abbastanza concreta da fare la differenza tra 2 e pi.

Anche io, prima di leggere le risposte al problema iniziale posto da Korin, mi sono dato la stessa spiegazione di Mario. La successione di circonferenze scala in numero come 2^n e il numero di punti di contatto come (2^n)+1. Si tratta di un insieme numerbaile di punti e penso che il "problema" possa essere qui. D'altra parte cose del genere accadono con una certa frequenza in matematica. Basta pensare all'integrale della funzione di Dirichlet.

[Mattia Bulgarelli]

[cite]Autore: Leonardo[/cite]Basta pensare all'integrale della funzione di Dirichlet.

Che sarebbe? Se è possibile spiegarlo ad uno verso ad Analisi I fatto 6 anni fa (o poco meno).

[Leonardo]

Funzione di Dirichlet

Sostanzialmente la puoi pensare come la funzione, definita nell'intervallo [0,1], che assume il valore 1 sui numeri reali e 0 sui razionali. Come tale non è integrabile secondo Riemann ma lo è secondo Lebesgue e il suo integrale vale 1 dal momento che l'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1 ha misura di Lebesgue nulla (è un insieme numerabile). Quindi l'integrale della funzione di Dirichlet è esattamente lo stesso dell'integrale della funzione che vale 1 sull'intervallo [0,1] (che si chiama funzione caratteristica dell'intervallo).
Il legame col problema che hai posto sta nel fatto che anche in questo caso hai un insieme "infinito" ma non "abbastanza grande" da influire sul calcolo di un area nel momento in cui lo togli.

[Mauro]

[cite]Autore: TartaRosso[/cite]Pi Greco è uguale a 3 come voleva stabilire una legge di non mi ricordo quale stato americano

3,2 (Indiana PI Bill).

[Mattia Bulgarelli]

[cite]Autore: Leonardo[/cite]
Il legame col problema che hai posto sta nel fatto che anche in questo caso hai un insieme "infinito" ma non "abbastanza grande" da influire sul calcolo di un area nel momento in cui lo togli.

Chiarissimo. Topic chiuso, altri giochini di matematica o geometria in nuovi thread! ^__^